BAB
VI
DISTRIBUSI
NORMAL
Distribusi normal
adalah distribusi dengan variabel
acak kontinu atau sering
disebut distribusi Gauss. Jika variabel acak kontinu X mempunyai
fungsi densitas pada
X = x dengan persamaan :
1
( ) =
√2
( )
dengan : π = nilai konstan yang bila ditulis dengan 4
desimal π = 3,1416
e = bilangan konstan, bila ditulis hingga 4
desimal, e = 2,7183.
µ = parameter, ternyata
merupakan rata-rata untuk distribusi.
σ = parameter, merupakan
simpangan baku untuk distribusi.
Nilai x mempunyai
batas - ∞
< x <
∞, maka dikatakan
bahwa variabel acak X
berdistribusi normal. Sifat-sifat penting distribusi normal :
1) Grafiknya selalu ada di atas sumbu datar X.
2) Bentuknya simetris terhadap x = µ.
3) Mempunyai satu modus, jadi kurva normal, tercapai pada x = µ
sebesar ,.
4) Grafiknya mendekati (berasimtotkan) sumbu datar
x dimulai dari
x = µ
+ 3σ ke
kanan dan x = µ - 3σ ke kiri.
5) Luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi.
Untuk setiap pasang µ dan σ,
sifat-sifat di atas
akan selalu dipenuhi, hanya
bentuk kurvanya saja yang berlainan. Jika
σ makin besar,
kurvanya makin rendah
(platikurtik) dan untuk σ makin kecil, kurvanya makin tinggi
(leptokurtik).
(A)
(B)
(A) kurva normal dengan µ = 10 dan σ = 5, sedangkan (B) kurva normal dengan µ = 20
dan σ = 7.
Untuk menentukan peluang harga X antara a dan b, yakni
P(a<X<b), digunakan
rumus:
( < < ) = ( 2 )
/ ( )
Distribusi normal standar ialah distribusi dengan rata-rata µ = 0
dan simpangan baku σ
= 1. Fungsi densitasnya berbentuk :
1
( ) = −
Untuk z dalam daerah - ∞ < z < ∞.
√2
/
Untuk menentukan distribusi normal baku dapat menggunakan
transformasi :
−
= −
Grafiknya dapat dilihat seperti berikut ini :
Normal Umum
Normal Standar
µ-3σ µ-2σ µ-σ
µ µ+σ µ+2σ
µ+3σ -3 -2
-1 0 1
2 3
rata-rata = µ ≠ 0
Simpangan baku = σ ≠ 1
rata-rata = 0
σ = 1
Setelah didapatkan formasi distribusi normal baku dari distribusi
normal umum
dari rumus = −
maka
daftar distribusi normal
dapat digunakan. Dengan
daftar
ini bagian-bagian luas dari distribusi normal baku dapat dicari
dengan cara :
1) Hitung z sehingga dua desimal.
2) Gambarkan kurvanya seperti gambar sebelah kanan pada gambar di
atas.
3) Letakkan harga z pada sumbu datar, lalu tarik garis vertikal
hingga memotong kurva.
4) Luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara garis
ini dengan garis tegak
di titik nol.
5) Dalam daftar, cari tempat harga z pada kolom paling kiri hanya
hingga satu desimal
keduanya dicari pada baris paling atas.
6) Dari z di
kolom kiri maju ke
kanan dan dari
z di baris
atas turun ke
bawah, maka
didapat bilangan yang merupakan luas
yang dicari. Bilangan yang didapat
harus
ditulis dalam bentuk 0,xxxx (bentuk 4 desimal).
Karena seluruh luas = 1 dan kurva simetrik terhadap µ = 0, maka
luas dari garis
tegak pada titik nol ke kiri ataupun ke kanan adalah 0,5.
Beberapa contoh, penggunaan daftar normal baku.
Akan dicari luas daerah :
1) Antara z = 0 dan z =
2,15.
Di bawah z pada kolom kiri
cari 2,1 dan di atas sekali angka 5. Dari 2,1 maju ke
kanan dan dari 5 menurun, didapat 4842.
Luas daerah yang dicari, dapat dilihat daerah yang diarsir, =
0,4842.
0 2,15
2) Antara z = 0 dan z =
-1,86.
Karena z bertanda negatif, maka pada grafiknya diletakkan di
sebelah kiri 0. Untuk
daftar digunakan z = 1,86. Di bawah z kolom kiri dapatkan 1,8 dan
di atas angka 6.
Dari 1,8 ke kanan dan dari 6 ke bawah didapat 4686.
Luas daerah = daerah diarsir = 0,4686.
-1,86 0
3) Antara z = -1,50 dan z
= 1,82.
Dari grafik terlihat
bahwa kita perlu
mencari luas dua
kali, lalu dijumlahkan.
Mengikuti cara 1)
untuk z =
1,82 dan cara
di 2) untuk z
= -1,50, masing-masing
didapat 0,4656 dan 0,4332. Jumlah = luas yang dicari = 0,4332 +
0,4656 = 0,8988.
-1,5 0
1,82
4) Antara z = 1,40 dan z =
2,65.
Yang dicari adalah luas
dari z = 0 sampai ke z = 1,40. Dengan cara yang dijelaskan
di atas masing-masing didapat 0,4960 dan
0,4192. Luas yang
dicari = 0,4960 –
0,4192 = 0,0768.
0 1,40
2,65
5) Dari z = 1,96 ke kiri.
Luasnya sama dengan dari z = 0 ke kiri (= 0,5) ditambah luas dari
z = 0 sampai ke z
= 1,96. Untuk z = 1,96 dari daftar didapat 0,4750. Luas = 0,5 +
0,4750 = 0,9750.
0 1,96
6) Dari z = 1,96 ke kanan.
Dari gambar 6)
dapat dilihat bahwa
yang dicari merupakan daerah
yang tidak
diarsir. Ini sama dengan luas dari z = 0 ke kanan (= 0,5)
dikurangi luas dari z = 0
sampai ke z = 1,96 yang besarnya 0,4750. Luas = 0,5 – 0,4750 =
0,0250.
Untuk mencari kembali z
apabila luasnya diketahui,
maka dilakukan langkah
sebaliknya. Misalnya, jika
luas = 0,4931,
maka dalam badan
daftar dicari 4931 lalu
menuju ke pinggir sampai pada kolom z, didapat 2,4 dan menuju ke
atas sampai batas z
didapat 6. Harga z = 2,46.
Beberapa bagian luas
untuk distribusi normal umum
dengan rata-rata µ dan
simpangan baku σ
tertentu dengan mudah dapat ditentukan.
Tepatnya, jika sebuah
fenomena berdistribusi normal, maka dari fenomena itu :
1) Kira-kira 68,27% dari
kasus ada dalam daerah satu simpangan baku sekitar rata-
rata, yaitu antara µ - σ dan µ + σ.
2) Ada 95,45% dari kasus
terletak dalam daerah dua simpangan baku sekitar rata-
rata, yaitu antara µ - 2σ dan µ + 2σ.
3) Hampir 99,73% dari kasus
ada dalam daerah tiga simpangan baku
sekitar rata-
rata, yaitu antara µ - 3σ dan µ + 3σ.
Contoh :
Berat barang siswa dalam
suatu tour rata-rata 3,750 gram
dengan simpangan
baku 325 gram. Jika berat barang berdistribusi normal, maka
tentukan ada :
a) Berapa persen siswa yang
mempunyai berta barang lebih dari 4.500 gram ?
b) Berapa orang siswa
yang yang memiliki berat barang antara
3.500 gram dan 4.500
gram, jika semuanya ada 10.000 siswa ?
c) Berapa siswa yang orang siswa yang berat barangnya lebih kecil
atau sama dengan
4.000 gram jika semuanya ada 10.000 siswa?
d) Berapa orang siswa
yang berat barangnya 4.250 gram
jika semuanya ada
5.000
siswa?
Penyelesaian :
Dengan X = berat
barang siswa dalam
gram, µ =
3,750 gram, σ = 325
gram,
maka :
a) Dengan transformasi
rumu =
−
= −
s untuk X = 4.500 :
4.500 − 3.750
= 2,31
325
Berat yang lebih dari 4.500 gram, pada grafiknya ada disebelah
kanan z = 2,31. Luas
daerah ini = 0,5 – 0,4896 = 0,0104. Jadi ada 1, 04% dari dari
berat barang siswa yang
lebih dari 4.500 gram.
0 2,31
b) Dengan X = 3.500 dan X = 4.500 didapat :
3.500 − 3.750
= = −0,77 = 2,31
325
Luas daerah yang perlu =
daerah yang diarsir = 0,2794 + 0,4896 =
0,7690. Banyak
siswa yang berat barangnya
antara 3.500 gram dan
4.500 gram diperkirakan ada
(0,7690)(10.000) = 7.690.
-0,77 0 2,31
c) Karena beratnya lebih
kecil atau sama dengan 4.000 gram, maka beratnya harus lebih
kecil dari 4.000,5 gram.
4.000,5 − 3.750
= =
−0,77
325
Peluang berat barang siswa lebih kecil atau sama dengan 4.000 gram
= 0,5 + 0, 2794
= 0,7794.
Banyak siswa = (0,7794)(10.000) = 7794.
d) Jika berat 4.250 gram berarti berat antara 4.249,5 gram dan
4.250,5 gram. Jadi untuk
X = 4.249,5 dan X = 4.250,5 didapat :
4.249,5 − 3.750
= = 1,53.
325
4.250,5 − 3.750
= = 1,54
325
Luas daerah yang perlu = 0,4382 – 0,4370 = 0,0012.
Banyak siswa = (0,0012)(5.000) = 6.
Antara distribusi binom
dan distribusi normal
terdapat hubungan tertentu.
Jika
untuk fenomena yang berdistribusi binom berlaku :
a) N cukup besar,
b) π = P(A)
= peluang peristiwa A
terjadi, tidak terlalu dekat
kepada nol, maka
distribusi binom dapat
didekati oleh distribusi
normal dengan rata-rata
µ = Nπ dan
simpangan baku σ =
(1 −
).
Untuk pembakuan, agar daftar
distribusi normal baku dapat
dipakai, maka
digunakan transformasi :
−
=
(1 − )
Dengan X =
variabel acak dalam
distribusi diskrit yang menyatakan terjadinya
peristiwa A. Karena
disini telah mengubah
variabel acak diskrit dari
distribusi binom
menjadi variabel acak kontinu dalam distribusi
normal, maka nilai-nilai
X perlu
mendapat penyesuaian. Yang dipakai
ialah dengan jalan menambah atau mengurangi
dengan 0,5.
Perhatikan distribusi binom oleh distribusi normal sangat
berfaedah, antara lain
untuk mempermudah perhitungan.
Contoh :
10% dari siswa tergolong kategori A. Sebuah sampel acak terdiri
atas 400 siswa
telah diambil. Tentukan peluangnya akan terdapat :
a) paling banyak 30 orang
tergolong kategori A.
b) Antara 30 dan 50 orang tergolong kategori A.
c) 55 orang atau lebih
termasuk kategori A.
Penyelesaian :
Soal ini merupakan
soal distribusi binom.
Tetapi lebih cepat dan
mudah bila
diselesaikan dengan distribusi normal. Kita ambil X = banyak siswa
termasuk kategori
A. Maka dari segi X ini didapat:
µ = 0,1 x 400 orang = 40 0rang.
Σ = √400 0,1 0,9 orang = 6 orang.
a) Paling banyak 30 orang
dari kategori A,
berarti X =
0, 1, 2,
..., 30. Melakukan
penyesuaian terhadap X, maka sekarang X menjadi - 0,5 < X <
30,5, sehingga :
=
−0,5 − 40
6
30,5 − 40
= −6,57.
=
6
= −1,58
Luas daerah yang
diarsir adalah 0,5 –
0, 4429 = 0,0571.
Peluangnya terdapat
paling banyak 30 orang termasuk kategori A adalah 0,0571.
-1,58 0
b) Untuk distribusi normal,
disini berlaku 30,5 < X < 49,5.
Bilangan standar z-nya
masing-masing :
=
30,5 − 40
6
=
−1,58 =
49,5 − 40
6
= +1,58.
Dari daftar distribusi
normal baku terdapat peluang yang ditanyakan =
2(0,4429) =
0,8858.
c) 55 orang atau lebih untuk
distribusi binom memberikan
X > 54,5 untuk distribusi
normal.
Maka
54,5 − 40
= = 2,42
6
Sehingga kita perlu luas
daerah dari Z
= 2,42 ke kanan.
Dari daftar distribusi
normal baku didapat peluang yang dicari = 0,5 – 0,4922 = 0,0078.
0 2,42
Apabila kondisi populasi
digambarkan dalam bentuk kurva,
bisa dijumpai
berbagai macam bentuk kurva.
Hal ini tergantung dari kondisi
penyebaran frekuensi
skor yang terkumpul. Pada
umumnya kondisi populasi
dalam dunia pendidikan
berdistribusi normal. Tetapi
tidak selamanyapopulasi yang
dijumpai akan berdistribusi
normal, oleh karena
itu, kita harus
hati-hati dalam menghadapi
data tersebut. Analisis
statisik untuk data yang
berdistribusi normal akan
berbeda, dengan demikian
maka
interpretasinyapun akan dipengaruhi oleh bentuk distribusinya.
Data populasi akan
berdistribusi normal jika
rata-rata nilainya sama
dengan
modenya serta sama
dengan mediannya. Ini
berarti bahwa sebagian
nilai (skor)
mengumpul pada posisi tengah, sedangkan frekuensi skor yang rendah
dan yang tinggi
menunjukkan kondisi yang semakin sedikit seimbang. Oleh karena
penurunan frekuensi
pada skor yang semakin
rendah dan skor yang semakin tinggi adalah seimbang, maka
penurunan garis kurva ke kanan dan ke kiri akan seimbang.
Kurva normal mempunyai
hubungan erat dengan
data yang kontinue (interval
mauoun ratio). Distribusi
yang normal kurvanya
merupakan distribusi yang paling
banyak dijumpai dan digunakan
sebagai pengembangan rumus-rumus
statistik
parametrik (inferensial
statistik). Disamping itu, sifat
normal ini yang paling banyak
ditunjukkan oleh sifat populasi.
Distribusi normal mempunyai sifat-sifat yang khusus, yaitu :
1. Bentuknya simetri dengan
sumbu X.
2. Nilai rata-rata = mode =
media.
3. Mode hanya satu
(unimodal).
4. Ujung-ujung
grafiknya hanya mendekati
sumbu X atau dengan kata lain tidak akan
bersinggungan maupun berpotongan dengan sumbu X (berasimtot dengan
sumbu X).
5. Kurva akan
landai jika rentangan
skor besar, sebaliknya
jika rentangan skor
kecil
maka kurvanya akan meninggi.
6. Luas daerah kurva akan
sama dengan luas satu persegi empat.
Bentuk kurva normal tergantung pada distribusi
nilai/skor yang akan dibuat
kurvanya. Penyebaran skor
dan panjang pendeknya rentangan
distribusi berpengaruh
besar atau menentuka bentuk kurvanya. Jika
jumlah responden sama,
maka kurva
normal dari distribusi skor tersebut akan berbeda bentuknya.
Jenis bentuk kurva yang
diakibatkan oleh perbedaan
rentangan nilai dan
simpangan baku ada tiga macam, yaitu :
1. Leptokurtik, merupakan
bentuk kurva normal yang
meruncing tinggi karena
perbedaan frekuensi pada skor-skor yang mendekati rata-rata sangat
kecil.
2. Platykurtic, merupakan
kurva normal yang mendatar
rendah karena perbedaan
frekuensi pada skor-skor yang mendekati rata-rata sangat kecil.
3. Normal, merupakan
bentuk kurva normal yang biasa, artinya bentuknya
merupakan
bentuk antara
leptokurtic dan platykurtic, karena
penyebaran skor biasa
dan tidak
terjadi kejutan-kejutan yang berarti.
Bentuk ketiga kurva normal itu dapat dilihat pada grafik, berikut
ini :
(1)
(2)
(3)
Kurva normal dapat pula
dibuat berdasarkan skor yang telah ditransformasikan
ke Z skor.
Proses transformasi distribusi
skor yang normal
akan tetap menghasilkan
distribusi Z skor
yang normal pula. Untuk kepercayaan kita,
dapat dibuktikan melalui
contoh soal di bawah.
Contoh : 1
Suatu penyebaran nilai matematika
siswa pada suatu sekolah
menengah pertama
sebagai berikut :
65 65
75 75
60 70 70 70
80 80 80 85
75 75
85 90
Berdasarkan data tersebut di atas buatlah :
1. Perhitungan rata-rata dan
simpangan bakunya.
2. Transformasi Z skor.
3. Kurva berdasarkan
distribusi skor asli.
4. Kurva berdasarkan
distribusi Z skor.
Rumus rata-rata yang digunakan adalah
rumus rata-rata hitung yaitu (∑X) : n,
sedangkan simpangan bakunya
dihitung dengan rumus
= ∑( )
dan rumus
= √ untuk sejumlah sampel,
tetapi jika yang akan
dihitung simpangan
bakunya merupakan populasi maka pembagi pada perhitungan variance
sebesar N.
Jumlah skor adalah 1200
Jumlah responden adalah 16
Jadi, rata-ratanya adalah 1200 : 16 = 75
Jika data di atas merupakan populasi maka σ = 7,91
Jika data di atas merupakan sampel maka Sd = 8,16. Apabila kita
menganggap
bahwa skor tersebut adalah skor yang berasal dari populasi, maka Z
skornya adalah :
Untuk X = 60
Untuk X = 65
Untuk X = 70
Untuk X = 75
Untuk X = 80
Untuk X = 85
Untuk X = 90
Z skor = (60 - 75) : 7,91 =
-1,90
Z skor = (65 - 75) : 7,91 =
-1,26
Z skor = (70 - 75) : 7,91 =
-0,63
Z skor = (75 - 75) : 7,91
= 0
Z skor = (80 - 75) : 7,91
= 0,63
Z skor = (85 - 75) : 7,91
= 1,26
Z skor = (90 - 75) : 7,91
= 1,90
Berdasarkan distribusi skor asli kurvanya adalah :
4
3
2
1
0
60 65 70
75 80 85
90 95
µ
Berdasarkan distribusi Z skor kurvanya adalah :
4
3
2
1
0
- - - 0 0,63
1,26 1,90 95
1,90 1,26
0,63
µ
Jelas kini bahwa
distribusi skor yang normal
akan tetap normal walaupun
dilakukan transformasi ke Z skor. Mengingat kurva normal tersebut
simetri, maka garis
tegak lurus pada sumbu X
di titik µ akan
membagi dua bagian
kurva menjadi sama
besar. Luas seluruh
daerah di bawah
kurva normal adalah
100% atau sama dengan
1
(satu), sehingga belahan kanan
kurva normal dan
belahan sebelah kiri
kurva normal
masing-masing mempunyai luas 0,5 atau 50%. Untuk lebih jelasnya
tentang luas daerah
di bawah kurva normal dapat dilihat pada figur di bawah.
Melalui transformasi ke
Z skor kita
akan dapat mencari luar
daerah di bawah
kurva normal, untuk nilai-nilai Z tertentu. Dalam kasus ini kita
hanya berpedoman pada
tabel distribusi normal.
Tabel ini disamping
dapat digunakan untuk menentukan luas
daerah di bawah
kurva normal untuk batas
titik tertentu, juga dapat
digunakan untuk
mencari titik
tertentu. Tentunya apabila
titik Z yang tidak diketahui,
sedangkan luas
daerah di bawah kurva normal diketahuinya. Cara menggunakan tabel
ini sangat mudah
karena dalam tabel
hanya terdiri dari
tiga kolom dan
kita tinggal melihat
pasangan
angka antar kelompok dalam satu baris yang slah satu angkanya kita
ketahui.
-2 -1 0 1 2
µ
68, 26%
95,46%
Selanjutnya dapat dijelaskan sebagai berikut :
1. Yang memuat berbagai
kemungkinan nilai Z.
2. Yang menunjukkan luas
daerah di bawah kurva antara titik µ atau 0 dengan nilai Z.
3. Yang menunjukkan luas
daerah di bawah kurva diluar nilai Z atau luas daerah di
bawah kurva di atass nilai Z.
Pada luas kolom
B dan C
selalu berjumlah 0,5 karena jumlah
B dan C
merupakan setengah dari luas daerah di bawah kurva normal.
Penggunaan kolom B dan
C secara serentak (bersama) tidak pernah
terjadi kecuali untuk mengontrol kebenaran
angka-angka tersebut. Gunakan salah satu kolom B dan C sesuai
dengan kebutuhannya.
Contoh : 2
a. Jika diketahui
Z skor 1,26 hitunglah luas
daerah di bawah kurva
normal antara µ
dengan titik Z.
b. Jika diketahui Z skor min
1,90 hitunglah luas daerah di bawah kurva normal antara µ
dengan titik Z.
c. Jika luas daerah di luar
titik Z adalah 0,4207 carilah titik Z nya.
d. Jika luas daerah diantara
titik Z dengan µ adalah 0,1179 carilah titik Z nya.
Dengan berpedoman pada tabel
distribusi normal kita
dapat menjawab semua
soal di atas.
1. Lihat pada
(tabel distribusi normal)
pada kolom a
yang mengandung Z 1,26,
kemudian cari jodohnya pada kolom B diperoleh angka 0,3962.
2. Lihat pada
kolom A yang mengandung Z 1,90 (tanda
minus tidak mempengaruhi
penentuan angka dalam
tabel), kemudian cari
jodohnya pada kolom
B diperoleh
angka 0,4713.
3. Lihat pada
kolom C yang mengandung angka 0,4207,
kemudian cari jodohnya
di
kolom A diperoleh 0,20.
4. Lihat pada
kolom B yang mengandung angka 0,1179,
kemudian cari jodohnya
di
kolom A diperoleh 0,30.
DISTRIBUSI
T DAN DISTRIBUSI F
1. DISTRIBUSI STUDENT ATAU
DISTRIBUSI T
Distribusi dengan variabel
acak kontinu lainnya, selain
dari distribusi normal,
ialah distribusi Student atau distribusi t. Fungsi
densitasnya adalah:
( ) =
……………….
(1)
berlaku untuk harga-harga t yang memenuhi -∞ t ∞ dan K
merupakan bilangan tetap
yang besarnya bergantung
pada n
sedemikian sehingga luas
daerah di bawah
kurva
sama dengan satu unit.
Pada distribusi t
ini terdapat bilangan
(n – 1) yang dinamakan
derajat kebebasan, akan disingkat dengan dk.
Jika sebuah populasi mempunyai model dengan persamaan seperti
dalam rumus
(1), maka dikatakan populasi itu berdistribusi t dengan dk (n –
1).
Bentuk grafiknya
seperti distribusi normal
baku, simetrik terhadap t = 0,
sehingga sepintas lalu hamper
tak ada bedanya. Untuk harga-harga n yang
besar,
biasanya n ≥ 30, distribusi t mendekati distribusi distribusi
normal baku, yaitu:
( ) = −1
√2
Untuk perhitungan-perhitungan,
daftar distribusi t
sudah disusun berbentuk
tabel. Daftar tersebut berisikan nilai-nilai t untuk dk dan
peluang tertentu. Kolom paling
kiri, kolom dk, berisikan derajat kebebasan, baris teratas
berisikan nilai peluang.
Untuk penggunaan daftar distribusi t, perhatikan
gambar di samping.
Gambar ini merupakan
grafik
distribusi t dengan dk = (baca: nu) dimana p = (n – 1).
Luas bagian diarsir = p dan
dibatasi paling kanan oleh
tp. Harga tp
inilah yang dicari dari
daftar untuk
pasangan dan p yang diberikan.
0
tp
Contoh penggunaan daftar
distribusi t.
1. Untuk n = 13, jadi dk =
12 dan p = 0,95, maka t = 1,78.
Ini didapat dengan meliat tabel distrubusi t dengan jalan maju ke
kanan dari 12 dan
menurun dari 0,95.
2. Untuk n = 16, tentukan t
supaya luas yang diarsir = 0,95.
-t 0 t
Dari grafik dapat dilihat bahwa luas ujung kiri = 1 – 0,95 = 0,05.
Kedua ujung
ini sama luas, jadi luas ujung kanan, mulai dari t ke kanan =
0,025. Mulai dari t ke
kiri luasnya = 1 – 0,025 = 0,975. Harga p inilah yang dipakai
untuk daftar.
Dengan = 15 (lihat daftar
distribusi t) kita maju ke kanan dan
dari p = 0,975
kita menurun, didapat t = 2,13. Jadi, antara t = 2,13 luas yang
diarsir = 0,95.
3. Tentukan t
sehingga luas dari t ke
kiri = 0,05 dengan
dk = 9. Untuk ini
p yang
digunakan = 0,95. Dengan dk = 9 didapat t = 1,83. Karena yang
diminta kurang dari
0,5 maka t harus bertanda negatif. Jadi, t = -1,83.
2. DISTRIBUSI F
Distribusi F ini juga mempunyai variabel acak yang kontinu. Fungsi
densitasnya
mempunyai persamaan:
( )
( ) = ∙
(
)
………………..
(2)
Dengan variabel acak F
memenuhi batas F
0, K
= bilangan tetap yang harganya
bergantung pada 1 dan 2, sedemikian
sehingga luas di bawah kurva sama dengan satu,
1 = dk pembilang
dan 2 = dk penyebut.
Jadi, distribusi F ini mempunyai dua buah derajat kebebasan.
Grafik distribusi F
tidak simetrik dan
umumnya sedikit positif.
Seperti juga distribusi
lainnya, untuk
keperluan perhitungan
dengan distribusi F,
daftar distribusi F
telah disediakan seperti
daftar distribusi t.
Daftar tersebut berisikan
nilai-nilai F untuk peluang 0,01 dan 0,05
dengan derajat kebebasan 1
dan 2. Peluang ini sama dengan luas daerah ujung kanan
yang diarsir,
sedangkan dk = 1
ada pada baris
paling atas dan dk = 2
pada kolom
paling kiri.
Untuk setiap pasang dk, 1 dan 2, daftar
berisikan
harga-harga F dengan kedua luas daerah ini 0,01 atau
0,05.
F
Untuk tiap dk = 2,
daftar terdiri atas dua baris, yang atas untuk peluang p = 0,05
dan yang bawah untuk p = 0,01.
Contoh:
Untuk pasangan derajat kebebasan
1 = 24 dan
2 = 8,
ditulis juga (1, 2) =
(24, 8),
maka untu p = 0,05 didapat
F = 3,12 sedangkan untuk p =
0,01 didapat F
= 5,28
(terdapat pada daftar
distribusi F. Ini
didapat dengan jalan
mencari 24 pada baris
atas
dan 8 pada kolom kiri. Jika dari 24 turun dan dari 8 ke kanan,
maka didapat bilangan-
bilangan tersebut. Yang atas untuk p = 0,05 dan yang bawah untuk p
= 0,01.
Notasi lengkap untuk nilai-nilai F dari daftar distribusi F dengan
peluang p dan
dk (1, 2) dan F0,01(24,8) = 5,28.
Meski daftar yang diberikan hanya untuk peluang p = 0,01 dan p =
0,05, tetapi
sebenarnya masih bias didapat
nilai-nilai F dengan
peluang 0,99 dan 0,95. Untuk itu,
digunakan hubunga:
1
( )( , )=
( , )
Dalam rumus di
atas, perhatikan antara
p dan (p – 1)
dan pertukaran antara
derajat
kebebasan (v1, 2) menjadi (2, 1).
Contoh: Telah didapat
F0,05(24,8) = 3,12
Maka, ,(
, )=, = 0,321
