Tugas Kuliah Dian Tri Utami: TUGAS STATISTIKA BAB III UKURAN PEMUSATAN

Ukuran Pemusatan Data: Mean - Median - Mode

Published on 13 January 2011

http://www.smartstat.info/images/stories/front/hp-normal.png

Salah satu aspek yang paling penting untuk menggambarkan distribusi data adalah nilai pusat data pengamatan (Central Tendency). Setiap pengukuran aritmatika yang ditujukan untuk menggambarkan suatu nilai yang mewakili nilai pusat atau nilai sentral dari suatu gugus data (himpunan pengamatan) dikenal sebagai ukuran pemusatan data (tendensi sentral). Terdapat tiga ukuran pemusatan data yang sering digunakan, yaitu:

Mean (Rata-rata hitung/rata-rata aritmetika)
Median
Mode

Pada artikel ini akan di bahas mengenai pengertian beberapa ukuran pemusatan data yang dilengkapi dengan contoh perhitungan, baik untuk data tunggal ataupun data yang sudah dikelompokkan dalam tabel distribusi frekuensi. Selain ukuran statistik di atas, akan dibahas juga mengenai beberapa ukuran statistik lainnya, seperti Rata-rata Ukur (Geometric Mean), Rata-rata Harmonik (H) serta beberapa karakteristik penting yang perlu dipahami untuk ukuran tendensi sentral yang baik serta bagaimana memilih atau menggunakan nilai tendensi sentral yang tepat.

(1) Mean (arithmetic mean)

Rata-rata hitung atau arithmetic mean atau sering disebut dengan istilah mean saja merupakan metode yang paling banyak digunakan untuk menggambarkan ukuran tendensi sentral. Mean dihitung dengan menjumlahkan semua nilai data pengamatan kemudian dibagi dengan banyaknya data. Definisi tersebut dapat di nyatakan dengan persamaan berikut:

Sampel:

Populasi:

Keterangan:

∑ = lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan n = banyaknya sampel data N = banyaknya data populasi $\bar x$ = nilai rata-rata sampel μ = nilai rata-rata populasi Mean dilambangkan dengan $\bar x$ (dibaca "x-bar") jika kumpulan data ini merupakan contoh (sampel) dari populasi, sedangkan jika semua data berasal dari populasi, mean dilambangkan dengan μ (huruf kecil Yunani mu).

Sampel statistik biasanya dilambangkan dengan huruf Inggris, $\bar x$ , sementara parameter-parameter populasi biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani, misalnya μ

a. Rata-rata hitung (Mean) untuk data tunggal

Contoh 1:

Hitunglah nilai rata-rata dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini: 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9

Jawab:

Nilai rata-rata dari data yang sudah dikelompokkan bisa dihitung dengan menggunakan formula berikut:

$\bar x=\dfrac{f_1x_1+f_2x_2+\dots .+f_nx_n}{f_1+f_2+\dots +f_n}=\dfrac{{\Sigma f}_ix_i}{\Sigma f_i}$

Keterangan: ∑ = lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan f_i = frekuensi data ke-i n = banyaknya sampel data $\bar x$ = nilai rata-rata sampel

Contoh 2:

Berapa rata-rata hitung pada tabel frekuensi berikut:

x_i	f_i
70	5
69	6
45	3
80	1
56	1

Catatan: Tabel frekuensi pada tabel di atas merupakan tabel frekuensi untuk data tunggal, bukan tabel frekuensi dari data yang sudah dikelompokkan berdasarkan selang/kelas tertentu.

Jawab:

x_i	f_i	f_ix_i
70	5	350
69	6	414
45	3	135
80	1	80
56	1	56
Jumlah	16	1035

$\overline{x}=\dfrac{{\Sigma f}_ix_i}{\Sigma f_i}$

$\overline{x}=\dfrac{1035}{{\rm 16}}=64.6$

b. Mean dari data distribusi Frekuensi atau dari gabungan:

Distribusi Frekuensi: Rata-rata hitung dari data yang sudah disusun dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dapat ditentukan dengan menggunakan formula yang sama dengan formula untuk menghitung nilai rata-rata dari data yang sudah dikelompokkan, yaitu: $\bar x=\dfrac{{\Sigma f}_ix_i}{\Sigma f_i}$

Keterangan:

∑ = lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan f_i = frekuensi data ke-i $\bar x$ = nilai rata-rata sampel

Contoh 3:

Tabel berikut ini adalah nilai ujian statistik 80 mahasiswa yang sudah disusun dalam tabel frekuensi. Berbeda dengan contoh 2, pada contoh ke-3 ini, tabel distribusi frekuensi dibuat dari data yang sudah dikelompokkan berdasarkan selang/kelas tertentu (banyak kelas = 7 dan panjang kelas = 10).

Kelas ke-	Nilai Ujian	f_i
1	31 - 40	2
2	41 - 50	3
3	51 - 60	5
4	61 - 70	13
5	71 - 80	24
6	81 - 90	21
7	91 - 100	12
	Jumlah	80

Jawab:

Buat daftar tabel berikut, tentukan nilai pewakilnya (x_i) dan hitung f_ix_i.

Kelas ke-	Nilai Ujian	f_i	x_i	f_ix_i
1	31 - 40	2	35.5	71.0
2	41 - 50	3	45.5	136.5
3	51 - 60	5	55.5	277.5
4	61 - 70	13	65.5	851.5
5	71 - 80	24	75.5	1812.0
6	81 - 90	21	85.5	1795.5
7	91 - 100	12	95.5	1146.0
	Jumlah	80		6090.0

$\overline{x}=\dfrac{{\Sigma f}_ix_i}{\Sigma f_i}$

$\bar {x}=\dfrac{6090}{{\rm 80}}=76.1$

Catatan: Pendekatan perhitungan nilai rata-rata hitung dengan menggunakan distribusi frekuensi kurang akurat dibandingkan dengan cara perhitungan rata-rata hitung dengan menggunakan data aktualnya. Pendekatan ini seharusnya hanya digunakan apabila tidak memungkinkan untuk menghitung nilai rata-rata hitung dari sumber data aslinya.

Rata-rata Gabungan atau rata-rata terboboti (Weighted Mean)

Rata-rata gabungan (disebut juga grand mean, pooled mean, atau rata-rata umum) adalah cara yang tepat untuk menggabungkan rata-rata hitung dari beberapa sampel.

$\overline{x}=\dfrac{{\Sigma n}_ix_i}{\Sigma n_i}=\overline{x}=\dfrac{{\Sigma f}_ix_i}{\Sigma f_i}$

Contoh 4:

Tiga sub sampel masing-masing berukuran 10, 6, 8 dan rata-ratanya 145, 118, dan 162. Berapa rata-ratanya?

Jawab:

(2) Median

Median dari n pengukuran atau pengamatan x₁, x₂ ,..., x_n adalah nilai pengamatan yang terletak di tengah gugus data setelah data tersebut diurutkan. Apabila banyaknya pengamatan (n) ganjil, median terletak tepat ditengah gugus data, sedangkan bila n genap, median diperoleh dengan cara interpolasi yaitu rata-rata dari dua data yang berada di tengah gugus data. Dengan demikian, median membagi himpunan pengamatan menjadi dua bagian yang sama besar, 50% dari pengamatan terletak di bawah median dan 50% lagi terletak di atas median. Median sering dilambangkan dengan $\tilde{x}$ (dibaca "x-tilde") apabila sumber datanya berasal dari sampel $\tilde{\mu}$ (dibaca "μ-tilde") untuk median populasi. Median tidak dipengaruhi oleh nilai-nilai aktual dari pengamatan melainkan pada posisi mereka. Prosedur untuk menentukan nilai median, pertama urutkan data terlebih dahulu, kemudian ikuti salah satu prosedur berikut ini:

Banyak data ganjil → mediannya adalah nilai yang berada tepat di tengah gugus data
Banyak data genap → mediannya adalah rata-rata dari dua nilai data yang berada di tengah gugus data

a. Median data tunggal:

Untuk menentukan median dari data tunggal, terlebih dulu kita harus mengetahui letak/posisi median tersebut. Posisi median dapat ditentukan dengan menggunakan formula berikut:

$Posisi Median=\dfrac{(n+1)}{2}$

dimana n = banyaknya data pengamatan.

Median apabila n ganjil:

Contoh 5:

Hitunglah median dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9; 10

Jawab:

data: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9; 10
setelah diurutkan: 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9; 10
banyaknya data (n) = 11
posisi Me = ½(11+1) = 6
jadi Median = 7 (data yang terletak pada urutan ke-6)

Nilai Ujian	2	4	5	6	6	7	7	7	8	9	10
Urutan data ke-	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
						↑

Median apabila n genap:

Contoh 6:

Hitunglah median dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9

Jawab:

data: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9
setelah diurutkan: 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9
banyaknya data (n) = 10
posisi Me = ½(10+1) = 5.5
Data tengahnya: 6 dan 7
jadi Median = ½ (6+7) = 6.5 (rata-rata dari 2 data yang terletak pada urutan ke-5 dan ke-6)

Nilai Ujian	2	4	5	6	6		7	7	7	8	9
Urutan data ke-	1	2	3	4	5		6	7	8	9	10
						↑

b. Median dalam distribusi frekuensi:

Formula untuk menentukan median dari tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut:

$Me{\rm{ = b + p}}\left( {\dfrac{{\dfrac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{n - F}}}}{{\rm{f}}}} \right)$

b = batas bawah kelas median dari kelas selang yang mengandung unsur atau memuat nilai median

p = panjang kelas median

n = ukuran sampel/banyak data

f = frekuensi kelas median

F = Jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari kelas median (∑f_i)

Contoh 7:

Tentukan nilai median dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 di atas!

Jawab:

Kelas ke-	Nilai Ujian	f_i	f_kum
1	31 - 40	2	2
2	41 - 50	3	5
3	51 - 60	5	10
4	61 - 70	13	23
5	71 - 80	24	47	←letak kelas median
6	81 - 90	21	68
7	91 - 100	12	80
8	Jumlah	80

Letak kelas median: Setengah dari seluruh data = 40, terletak pada kelas ke-5 (nilai ujian 71-80)
b = 70.5, p = 10
n = 80, f = 24
f = 24 (frekuensi kelas median)
F = 2 + 3 + 5 + 13 = 23

(3) Mode

Mode adalah data yang paling sering muncul/terjadi. Untuk menentukan modus, pertama susun data dalam urutan meningkat atau sebaliknya, kemudian hitung frekuensinya. Nilai yang frekuensinya paling besar (sering muncul) adalah modus. Modus digunakan baik untuk tipe data numerik atau pun data kategoris. Modus tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrem. Beberapa kemungkinan tentang modus suatu gugus data:

Apabila pada sekumpulan data terdapat dua mode, maka gugus data tersebut dikatakan bimodal.
Apabila pada sekumpulan data terdapat lebih dari dua mode, maka gugus data tersebut dikatakan multimodal.
Apabila pada sekumpulan data tidak terdapat mode, maka gugus data tersebut dikatakan tidak mempunyai modus.

Meskipun suatu gugus data mungkin saja tidak memiliki modus, namun pada suatu distribusi data kontinyu, modus dapat ditentukan secara analitis.

Untuk gugus data yang distribusinya simetris, nilai mean, median dan modus semuanya sama.
Untuk distribusi miring ke kiri (negatively skewed): mean < median < modus
untuk distribusi miring ke kanan (positively skewed): terjadi hal yang sebaliknya, yaitu mean > median > modus.

Hubungan antara ketiga ukuran tendensi sentral untuk data yang tidak berdistribusi normal, namun hampir simetris dapat didekati dengan menggunakan rumus empiris berikut:

Mean - Mode = 3 (Mean - Median)

a. Modus Data Tunggal:

Contoh 8:

Berapa modus dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini:

2, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9
2, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9
2, 4, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9
2, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Jawab:

2, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9→ Nilai yang sering muncul adalah angka 7 (frekuensi terbanyak = 3), sehingga Modus (M) = 7
2, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9 → Nilai yang sering muncul adalah angka 6 dan 7 (masing-masing muncul 3 kali), sehingga Modusnya ada dua, yaitu 6 dan 7. Gugus data tersebut dikatakan bimodal karena mempunyai dua modus. Karena ke-2 mode tersebut nilainya berurutan, mode sering dihitung dengan menghitung nilai rata-rata keduanya, ½ (6+7) = 6.5.
2, 4, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9 → Nilai yang sering muncul adalah angka 6 dan 8 (masing-masing muncul 3 kali), sehingga Modusnya ada dua, yaitu 6 dan 8. Gugus data tersebut dikatakan bimodal karena mempunyai dua modus. Nilai mode tunggal tidak dapat dihitung karena ke-2 mode tersebut tidak berurutan.
2, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9 → Nilai yang sering muncul adalah angka 5, 6 dan 7 (masing-masing muncul 2 kali), sehingga Modusnya ada tiga, yaitu 5, 6 dan 7. Gugus data tersebut dikatakan multimodal karena modusnya lebih dari dua.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 → Pada gugus data tersebut, semua frekuensi data sama, masing-masing muncul satu kali, sehingga gugus data tersebut dikatakan tidak mempunyai modusnya

b. Mode dalam Distribusi Frekuensi:

$Mo{\rm =b+p}\left(\dfrac{{{\rm b}}_{{\rm 1}}}{{{\rm b}}_{{\rm 1}}{\rm +}{{\rm b}}_{{\rm 2}}}\right)$

dimana:

Mo = modal = kelas yang memuat modus

b = batas bawah kelas modal

p = panjang kelas modal

b_mo = frekuensi dari kelas yang memuat modus (yang nilainya tertinggi)

b1= b_mo – b_mo-1 = frekuensi kelas modal – frekuensi kelas sebelumnya

b2 = b_mo – b_mo+1 = frekuensi kelas modal – frekuensi kelas sesudahnya

Contoh 9:

Tentukan nilai median dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 di atas!

Jawab:

Kelas ke-	Nilai Ujian	f_i
1	31 - 40	2
2	41 - 50	3
3	51 - 60	5
4	61 - 70	13
			→ b1 = (24 – 13) = 11
5	71 - 80	24	← kelas modal (frekuensinya paling besar)
			→ b2 =(24 – 21) =3
6	81 - 90	21
7	91 - 100	12
8	Jumlah	80

Kelas modul =kelas ke-5
b = 71-0.5 = 70.5
b1 = 24 -13 = 11
b2 = 24 – 21 = 3
p = 10

Selain tiga ukuran tendensi sentral di atas (mean, median, dan mode), terdapat ukuran tendensi sentral lainnya, yaitu rata-rata ukur (Geometric Mean) dan rata-rata harmonis (Harmonic Mean)

(4) Rata-rata Ukur (Geometric Mean)

Untuk gugus data positif x₁, x₂, …, x_n, rata-rata geometrik adalah akar ke-n dari hasil perkalian unsur-unsur datanya. Secara matematis dapat dinyatakan dengan formula berikut:

Dimana: U = rata-rata ukur (rata-rata geometrik) n = banyaknya sampel Π = Huruf kapital π (pi) yang menyatakan jumlah dari hasil kali unsur-unsur data. Rata-rata geometrik sering digunakan dalam bisnis dan ekonomi untuk menghitung rata-rata tingkat perubahan, rata-rata tingkat pertumbuhan, atau rasio rata-rata untuk data berurutan tetap atau hampir tetap atau untuk rata-rata kenaikan dalam bentuk persentase.

a. Rata-rata ukur untuk data tunggal

Contoh 10:

Berapakah rata-rata ukur dari data 2, 4, 8?

Jawab:

$U=\sqrt[3]{\left(2\right)\left(4\right)(8)}=\sqrt[3]{64}=4$

atau:

$Log(U) = \dfrac{{\Sigma \log ({x_i})\;}}{n}$

$U = {10^{0.6021}} = 4$

b. Distribusi Frekuensi:

$Log\left( U \right) = \dfrac{{\Sigma ({f_i}.\log \left( {{x_i})} \right)\;}}{{\Sigma {f_i}}}$

xi = tanda kelas (nilai tengah)

fi = frekuensi yang sesuai dengan xi

Contoh 11:

Tentukan rata-rata ukur dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 di atas!

Jawab

Kelas ke-	Nilai Ujian	fi	xi	log xi	fi.log xi
1	31 - 40	2	35.5	1.5502	3.1005
2	41 - 50	3	45.5	1.6580	4.9740
3	51 - 60	5	55.5	1.7443	8.7215
4	61 - 70	13	65.5	1.8162	23.6111
5	71 - 80	24	75.5	1.8779	45.0707
6	81 - 90	21	85.5	1.9320	40.5713
7	91 - 100	12	95.5	1.9800	23.7600
8	Jumlah	80			149.8091

(5) Rata-rata Harmonik (H)

Rata-rata harmonik dari suatu kumpulan data x₁, x₂, …, x_n adalah kebalikan dari nilai rata-rata hitung (aritmetik mean). Secara matematis dapat dinyatakan dengan formula berikut:

$H=\dfrac{n}{\sum{\left(\dfrac{1}{x_i}\right)}}$

Secara umum, rata-rata harmonic jarang digunakan. Rata-rata ini hanya digunakan untuk data yang bersifat khusus. Misalnya,rata-rata harmonik sering digunakan sebagai ukuran tendensi sentral untuk kumpulan data yang menunjukkan adanya laju perubahan, seperti kecepatan.

a. Rata-rata harmonic untuk data tunggal

Contoh 12:

Si A bepergian pulang pergi. Waktu pergi ia mengendarai kendaraan dengan kecepatan 10 km/jam, sedangkan waktu kembalinya 20 km/jam. Berapakah rata-rata kecepatan pulang pergi?

Jawab:

Apabila kita menghitungnya dengan menggunakan rumus jarak dan kecepatan, tentu hasilnya 13.5 km/jam! Apabila kita gunakan perhitungan rata-rata hitung, hasilnya tidak tepat!

$\overline{x}=\dfrac{(10+20)}{2}=15\ {\rm km/jam}$

Pada kasus ini, lebih tepat menggunakan rata-rata harmonik:

$\overline{x}=\dfrac{2}{\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{20}}=\dfrac{40}{3}=13.5\ {\rm km/jam}$

b. Rata-rata Harmonik untuk Distribusi Frekuensi:

$H=\dfrac{\sum f_i}{\sum{\left(\dfrac{f_i}{x_i}\right)}}$

Contoh 13:

Berapa rata-rata Harmonik dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 di atas!

Jawab:

Kelas ke-	Nilai Ujian	fi	xi	fi/xi
1	31 - 40	2	35.5	0.0563
2	41 - 50	3	45.5	0.0659
3	51 - 60	5	55.5	0.0901
4	61 - 70	13	65.5	0.1985
5	71 - 80	24	75.5	0.3179
6	81 - 90	21	85.5	0.2456
7	91 - 100	12	95.5	0.1257
8	Jumlah	80		1.1000

$H=\dfrac{\sum f_i}{\sum{\left(\dfrac{f_i}{x_i}\right)}}=\dfrac{80}{1.10000}=72.7283$

Perbandingan Ketiga Rata-rata (Mean):

$\overline{x}=76.10;;U=74.58;;H=72.73$

$H\le U\le \overline{x}=76.10$

Karakteristik penting untuk ukuran tendensi sentral yang baik

Ukuran nilai pusat/tendensi sentral (average) merupakan nilai pewakil dari suatu distribusi data, sehingga harus memiliki sifat-sifat berikut:

Harus mempertimbangkan semua gugus data
Tidak boleh terpengaruh oleh nilai-nilai ekstrim.
Harus stabil dari sampel ke sampel.
Harus mampu digunakan untuk analisis statistik lebih lanjut.

Dari beberapa ukuran nilai pusat, Mean hampir memenuhi semua persyaratan tersebut, kecuali syarat pada point kedua, rata-rata dipengaruhi oleh nilai ekstrem. Sebagai contoh, jika item adalah 2; 4; 5; 6; 6; 6; 7; 7; 8; 9 maka mean, median dan modus semua bernilai sama, yaitu 6. Jika nilai terakhir adalah 90 bukan 9, rata-rata akan menjadi 14.10, sedangkan median dan modus tidak berubah. Meskipun dalam hal ini median dan modus lebih baik, namun tidak memenuhi persyaratan lainnya. Oleh karena itu Mean merupakan ukuran nilai pusat yang terbaik dan sering digunakan dalam analisis statistik.

Kapan kita menggunakan nilai tendensi sentral yang berbeda?

Nilai ukuran pusat yang tepat untuk digunakan tergantung pada sifat data, sifat distribusi frekuensi dan tujuan. Jika data bersifat kualitatif, hanya modus yang dapat digunakan. Sebagai contoh, apabila kita tertarik untuk mengetahui jenis tanah yang khas di suatu lokasi, atau pola tanam di suatu daerah, kita hanya dapat menggunakan modus. Di sisi lain, jika data bersifat kuantitatif, kita dapat menggunakan salah satu dari ukuran nilai pusat tersebut, mean atau median atau modus. Meskipun pada jenis data kuantitatif kita dapat menggunakan ketiga ukuran tendensi sentral, namun kita harus mempertimbangkan sifat distribusi frekuensi dari gugus data tersebut.

Bila distribusi frekuensi data tidak normal (tidak simetris), median atau modus merupakan ukuran pusat yang tepat.
Apabila terdapat nilai-nilai ekstrim, baik kecil atau besar, lebih tepat menggunakan median atau modus.
Apabila distribusi data normal (simetris), semua ukuran nilai pusat, baik mean, median, atau modus dapat digunakan. Namun, mean lebih sering digunakan dibanding yang lainnya karena lebih memenuhi persyaratan untuk ukuran pusat yang baik.
Ketika kita berhadapan dengan laju, kecepatan dan harga lebih tepat menggunakan rata-rata harmonik.
Jika kita tertarik pada perubahan relatif, seperti dalam kasus pertumbuhan bakteri, pembelahan sel dan sebagainya, rata-rata geometrik adalah rata-rata yang paling tepat.

Referensi:

Mario Triola. 2004. Elementary Statistics. 9^th Edition. Pearson Education.
Stephen Bernstein and Ruth Bernstein. 1999. Elements of Statistics I: Descriptive Statistics and Probability. The McGraw-Hill Companies, Inc
Web:

Statistical dispersion: http://en.wikipedia.org/wiki/Statistical_dispersion
Indian Agricultural Statistics Research Institute: http://www.iasri.res.in/

Tugas Kuliah Dian Tri Utami

Rabu, 02 April 2014

TUGAS STATISTIKA BAB III UKURAN PEMUSATAN

Tidak ada komentar:

Posting Komentar