MOMEN,
KEMENCENGAN DAN KURTOSIS
1. PENDAHULUAN
Rata-rata
dan varians sebenarnya merupakan hal istimewa dari kelompok ukuran
lain
yang disebut momen. Dari momen ini pula beberapa ukuran lain dapat
diturunkan.
Bentuk-bentuk
sederhana dari momen
dan ukuran-ukuran yang didapat
daripadanya
akan
diuraikan di dalam bab ini.
2. MOMEN
Misalkan diberikan
variable x dengan harga-harga: x1, x2, …., xn. Jika
A =
sebuah bilangan tetap dan r = 0, 1, 2, ……., n,
maka momen ke-r sekitar
A, disingkat
mr,
didefinisikan oleh hubungan:
(1)
……………………………
= Σ( )
Untuk
A = 0 didapat momen ke-r sekitar nol atau disingkat momen ke-r:
(2)
……………………………
− =
Dari rumus
(2), maka untuk r
= 1 didapat
rata-rata ̅ . Jika
A = ̅
kita peroleh
momen
ke-r sekitar rata-rata, biasa disingkat dengan mr.
Jadi didapat:
(3)
…………………………...
=(̅ )
Untuk
r = 2, rumus (3) memberikan varians s2.
Untuk
membedakan apakah momen itu untuk sampel atau untuk populasi, maka
dipakai
simbul:
mr dan
mr untuk momen sampel dan r dan
r untuk momen populasi.
Jadi,
mr dan mr adalah statistik sedangkan r dan
r merupakan parameter.
Jika
data telah disusun dalam daftar distribusi
frekuensi, maka rumus-rumus di
atas
berturut-turut berbentuk:
(4)
………………………..
(5)
………………………..
(6)
………………………..
= Σ ( )
− =
=(̅ )
dengan
n = fi, xi = tanda kelas interval dan fi =
frekuensi yang sesuai dengan xi.
Dengan
menggunakan cara sandi, rumus 4 menjadi:
(7)
………………………
dengan, p = panjang
kelas interval,
=
ci = variable sandi.
Dari ,
harga-harga mr untuk beberapa harga
r, dapat ditentukan
berdasarkan
hubungan:
= − ( )
= − 3
= − 4
+ 2( )
+ 6( )
− 3( )
Contoh:
Untuk menghitung empat buah momen sekitar rata-rata untuk data dalam daftar
distribusi
frekuensi, kita lakukan sebagai berikut.
DATA
60 –
62
63 – 65
66 – 68
69 – 71
72 - 74
Jumlah
fi
5
18
42
27
8
100
ci
-2
-1
0
1
2
-
fici
-10
-18
0
27
16
15
20
18
0
27
32
97
-40
-18
0
27
64
33
80
18
0
27
128
253
=
Dengan menggunakan rumus (7), maka:
= 3 = 0,45
=
= 3
= 8,73
=
= 3
= 8,91
=
= 3
= 204,93
Sehingga
dengan menggunakan hubungan di atas:
= − ( ) = 8,73 −
(0,45) = 8,53.
= − 3
+ 2( ) = 8,91 − 3(0,45)(8,73) + 2(0,45) = −2,69
= − 4
+ 6( )
− 3( )
=
204,93 − 4(0,45)(8,91) + 6(0,45) (8,73) − 3(0,45) = 199,38
Dari
hasil ini, didapat varians s2 =
m2 = 8,53.
3. KEMENCENGAN
Kemencengan atau kecondongan (skewness)
adalah tingkat ketidaksimetrisan
atau
kejauhan simetri dari sebuah distribusi. Sebuah distribusi yang tidak simetris
akan
memiliki rata-rata, median,
dan modus yang tidak sama besarnya
( ≠ Me ≠ Mo),
sehingga
distribusi akan terkonsentrasi pada salah satu sisi dan kurvanya akan
menceng.
Jika
distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kanan daripada yang ke kiri
maka distribusi
disebut menceng ke kanan
atau memiliki kemencengan positif.
Sebaliknya, jika
distribusi memiliki ekor
yang lebih panjang ke kiri daripada
yang ke
kanan
maka distribusi disebut menceng ke kiri atau memiliki kemencengan negatif.
Berikut ini
gambar kurva dari
distribusi yang menceng ke
kanan (menceng
positif)
dan menceng ke kiri (menceng negatif).
Mo
Gambar a
Gambar 1
Mo
Gambar b
Kemencengan
Distribusi (a) Menceng ke kanan (b) Menceng ke kiri
Untuk
mengetahui bahwa konsentrasi
distribusi menceng ke
kanan atau
menceng
ke kiri, dapat digunakan metode-metode berikut :
1. Koefisien Kemencengan
Pearson
Koefisien
Kemencengan Pearson merupakan nilai selisih rata-rata dengan modus
dibagi
simpangan baku. Koefisien Kemencengan Pearson dirumuskan sebagai berikut:
−
=
Keterangan :
sk = koefisien
kemencengan Pearson
Apabila
secara empiris didapatkan hubungan antar nilai pusat sebagai :
−
= 3( − )
Maka
rumus kemencengan di atas dapat diubah menjadi :
3( − )
=
Jika
nilai sk dihubungkan dengan keadaan kurva maka :
1) sk
= 0
kurva memiliki bentuk simetris;
2) sk>
0
3) sk< 0
Contoh
soal :
nilai-nilai terkonsentrasi pada
sisi sebelah kanan ( terletak di
sebelah
kanan Mo), sehingga
kurva memiliki ekor memanjang ke kanan, kurva
menceng ke kanan atau menceng positif;
nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kiri ( terletak di sebelah kiri
Mo), sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kiri, kurva menceng
ke kiri atau menceng negatif.
Berikut
ini adalah data nilai ujian statistik dari 40 mahasiswa sebuah universitas.
Nilai
Ujian Statistika pada Semester 2, 2010
Nilai
Ujian
31 –
40
41 –
50
51 –
60
61 –
70
71 –
80
81 –
90
91 –
100
Jumlah
Frekuensi
4
3
5
8
11
7
2
40
a) Tentukan nilai sk
dan ujilah arah kemencengannya (gunakan kedua rumus tersebut) !
b)
Gambarlah kurvanya !
Penyelesaian:
Nilai
31 –
40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 –
100
Jumlah
X
35,5
45,5
55,5
65,5
75,5
85,5
95,5
f
4
3
5
8
11
7
2
40
u
-4
-3
-2
-1
0
1
2
u2
16
9
4
1
0
1
4
fu
-16
-9
-10
-8
0
7
4
-32
fu2
64
27
20
8
0
7
8
134
∑
= + ∑ =
75,5 + 10
−32
40 = 75,5 − 8 = 67,5
=
∑
1
−
∑
= 10
134
40 −
1
−32
40 = 10 (1,62) = 16,2
= +
2 − (∑ ).=
60,5 + 2(40) − 12 . 10 = 60,5
+ 10 = 70,5
8
4
= ++. =
70,5 + 4 + 5 . 10 = 70,5 + 4,44 = 74,94
a.
=
= ,
,
,
= −0,46
Oleh
karena nilai sk-nya
negatif (-0,46) maka kurvanya menceng ke
kiri atau
menceng
negatif.
b. Gambar kurvanya :
Kurva
nilai ujian statistik
12
10
8
6
4
2
0
35
45
56
66
Gambar 2
76
86
96
2. Koefisien Kemencengan
Bowley
Kurva menceng ke kiri
Koefisien
kemencengan Bowley berdasarkan pada hubungan kuartil-kuartil (Q1,
Q2 dan
Q3) dari sebuah distribusi. Koefisien kemencengan Bowley dirumuskan
:
( − ) − ( − )
=
atau
( − ) + ( − )
− 2 +
=
−
Keterangan
: skB
= koefisien kemencengan
Bowley;
Q = kuartil
Koefisien kemencengan
Bowley sering juga disebut
Kuartil Koefisien
Kemencengan.Apabila
nilai skB dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan :
1)
Jika Q3 – Q2 > Q2 – Q1 maka distribusi akan menceng ke kanan atau menceng secara
positif.
2) Jika Q3 – Q2 < Q2 – Q1 maka distribusi akan menceng ke kiri atau menceng secara
negatif.
3) skB
positif, berarti distribusi mencengke kanan.
4) skB
negatif, nerarti distribusi menceng ke kiri.
5) skB =
± 0,10 menggambarkan distribusi
yang menceng tidak berarti dan skB> 0,30
menggambarkan
kurva yang menceng berarti.
Contoh
soal :
Tentukan
kemencengan kurva dari distribusi frekuensi berikut :
Nilai
Ujian Matematika Dasar I dari 111 mahasiswa, 1997
Penyelesaian
:
Nilai
Ujian
20,00 – 29,99
30,00 – 39,99
40,00 – 49,99
50,00 – 59,99
60,00 – 69,99
70,00 – 79,99
Jumlah
Frekuensi
4
9
25
40
28
5
111
Kelas
Q1 = kelas ke -3
1
= +
4 − (∑ ).=
39,995 + 27,75 − 13 . 10 = 45,895
25
Kelas
Q2 = kelas ke -4
1
= +
2 − (∑ ).=
49,995 + 55,5 − 38 . 10 = 54,37
40
Kelas
Q3 = kelas ke -5
3
= +
4 − (∑ ).=
59,995 + 83,25 − 78 . 10 = 61,87
28
=
− 2 +
−
=
61,87 − 2(54,37) + 45,895
61,87
− 45,895
= −0,06
Karena
skB negatif (=−0,06) maka kurva menceng ke kiri dengan kemencengan
yang
berarti.
3. Koefisien Kemencengan
Persentil
Koefisien
Kemencengan Persentil didasarkan atas hubungan antar persentil (P90,
P50 dan
P10) dari sebuah distribusi. Koefisien Kemencengan Persentil
dirumuskan :
( − ) − ( − )
=
−
Keterangan :
skP = koefisien
kemecengan persentil , P = persentil
4. Keofisien Kemencengan
Momen
Koefisien Kemencengan
Momen didasarkan pada
perbandingan momen ke-3
dengan pangkat
tiga simpang baku. Koefisien
menencengan momen dilambangkan
dengan
α3. Koefisien kemencengan momen disebut juga kemencengan relatif.
Apabila
nilai α3dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan :
1)
Untuk distribusi simetris (normal), nilai α3= 0,
2)
Untuk distribusi menceng ke kanan, nilai α3 =
positif,
3)
Untuk distribusi menceng ke kiri, nilai α3=
negatif,
4) Menurut Karl
Pearson, distribusi yang memiliki
nilai α3> ±0,50 adalah
distribusi
yang
sangat menceng
5) Menurut Kenney
dan Keeping, nilai α3 bervariasi
antara ± 2 bagi
distribusi yang
menceng.
Untuk
mencari nilaiα3, dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok.
a. Untuk data tunggal
Koefisien
Kemencengan Momen untuk data tunggal dirumuskan :
1
α3 = koefisien
kemencengan momen
= =
2 ∑( − )
b. Untuk data
berkelompok
Koefisien
kemencengan momen untuk data berkelompok dirumuskan :
1
atau
= =
2 ∑( − )
= =
∑
− 3
∑
∑
+ 2
∑
dalam
pemakaiannya, rumus kedua lebih praktis dan lebih mudah perhitungannya.
5. KERUNCINGAN ATAU
KURTOSIS
Keruncingan
atau kurrtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yang
biasanya
diambil secararelatif terhadap suatu distribusi normal.
Berdasarkan keruncingannya, kurva
distribusi dapat dibedakan
atas tiga macam,
yaitu
sebagai berikut :
1) Leptokurtik
Merupakan
distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi.
2) Platikurtik
Merupakan
distribusi yang memiliki puncak hampir mendatar
3) Mesokurtik
Merupakan
distribusi yang memiliki puncak tidak tinggi dan tidak mendatar
Bila distribusi
merupakan distribusi simetris maka distribusi mesokurtik dianggap
sebagai
distribusi normal.
leptokurtik
mesokurtik
platikurtik
Gambar
3. Keruncingan Kurva
Untuk
mengetahui keruncingan suatu distribusi, ukuran
yang sering digunakan
adalah
koefisien kurtosis persentil.
1. Koefisien keruncingan
Koefisien
keruncingan atau koefisien kurtosis dilambangkan dengan4
(alpha 4).
Jika
hasil perhitungan koefisien keruncingan diperoleh :
1)
Nilai lebih kecil dari 3, maka distribusinya adalah distribusi pletikurtik
2)
Nilai lebih besar dari 3, maka distibusinya adalah distribusi leptokurtik
3)
Nilai yang sama dengan 3, maka distribusinya adalah distribusi mesokurtik
Untuk
mencari nilai koefisien
keruncingan, dibedakan
antara data tunggal
dan
data
kelompok.
a. Untuk data tunggal
1 ∑( − )
∝ =
Contoh
soal:
Tentukan
keruncingan kurva dari data 2, 3, 6, 8, 11 !
Penyelesaian
:
=
6; s = 3,67
1 ∑( − )
2
3
6
8
11
Jumlah
1
5978
195,6
-
-4
-3
0
2
5
0
( − )
256
81
0
16
625
978
∝ =
= (3,67)=181,4 = 1,08
Karena
nilainya 1,08 (lebih kecil dari 3) maka distribusinya adalah distribusi
platikurtik.
b. Untuk data kelompok
atau
∝ =
1 ∑( − )
∝ =
∑
− 4
∑
∑
+ 6
∑
∑
− 3
∑
2. Koefisien Kurtosis
Persentil
Koefisien Kurtosis
Persentil dilambangkan dengan
K (kappa). Untuk
distribusi
normal,
nilai K = 0,263. Koefisien Kurtosis Persentil, dirumuskan :
1
Contoh
soal :
=
2(− )
−
Berikut ini
disajikan tabel distribusi
frekuensi dari tinggi
100 mahasiswa
universitas
XYZ.
a. Tentukan koefisien
kurtosis persentil (K) !
b. Apakah distribusinya
termasuk distribusi normal !
Tinggi
Mahasiswa Universitas XYZ
Penyelesaian
:
Tinggi (inci)
60 –
62
63 –
65
66 –
68
69 –
71
72 -
74
Jumlah
frekuensi (f)
5
18
42
27
8
100
Kelas Q1 =
kelas ke-3
1.
1.100
= +
4 − (∑ ).= 65,5
+
4 − 23
42
. 3 = 65,64
Kelas Q3 =
kelas ke-4
3.
3.100
= +
4 − (∑ ).= 68,5
+
4 − 65
27
. 3 = 69,61
Kelas P10 =
kelas ke-2
10.
10.100
= +
100 −
(∑ ).= 62,5 +
100 − 5
18
. 3 = 63,33
Kelas P90 =
kelas ke-4
90.
90.100
= +
100 −
(∑ ).= 68,5 +
100 − 65
27
. 3 = 71,28
1
Koefisien kurtosis persentil (K) adalah :
1
=
2(− )
−
=
2 (69,61 − 65,64)
71,28 − 63,33 = 0,25
Karena
nilai K = 0,25 (K<0,263) maka distribusinya bukan distribusi
normal.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar